Préface du livre
Kitâb al–mukhtasar fî hisâb al–Jabr wa–l–Muqâbala
(Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison)
Al-Khawârizmî – écrit entre 813-833
"J'ai rédigé, dans le domaine du calcul par la restauration, un abrégé englobant les plus fines et les plus nobles opérations du calcul dont les hommes ont besoin pour la répartition de leurs héritages et de leurs donations, pour leurs partages et pour leurs jugements, pour leurs transactions commerciales et pour toutes les opérations qu’ils ont entre eux, relatives à l’arpentage, à la répartition des eaux de rivière, à l’architecture ainsi qu’à d’autres aspects. (...)"
Traduction d'Ahmed Djebbar
Exemple de problème qu'Al-Khawârizmî a traité dans son livre:
un exemple de géométrie lié à l'arpentage de terre:
Un terrain triangulaire a deux côtés égaux à 10 coudées et sa base égale à 12 coudées. A l’intérieur se trouve inscrit un terrain carré. Quel est le côté du carré ?
La méthode pour cela consiste à connaître la hauteur de la terre triangulaire, et c’est en multipliant la moitié de la base – et c’est six – par lui-même ; il vient trente-six. Retranche-les de l’un des deux côtés courts multiplié par lui-même – et c’est cent. Il reste soixante-quatre. Prends sa racine, huit, et c’est sa hauteur. Son aire est quarante-huit et c’est la multiplication de sa hauteur par la moitié de sa base qui est six.
Nous considérons un des côtés du terrain carré égal à une chose et nous la multiplions par elle-même ; il vient un bien. Nous le conservons. Puis nous constatons qu’il nous reste deux triangles sur les deux flancs du terrain carré et un triangle au dessus.
Quant aux deux triangles qui sont sur les flancs, ils sont égaux et leurs hauteurs sont les mêmes et ils sont sur un angle droit. Leur aire est que tu multiplies une chose par six moins un demi d’une chose, il vient six choses moins la moitié d’un bien.
Quant à l’aire du triangle supérieur, c’est en multipliant huit moins une chose, et c’est la hauteur, par la moitié d’une chose ; il vient quatre choses moins la moitié d’un bien.
Ceci est l’aire du carré et des trois triangles, et c’est dix choses, qui égalent quarante-huit, et c’est l’aire du grand triangle.
De cela la chose est quatre coudées et quatre cinquièmes de coudée et c’est chacun des côtés de la terre carrée.
Extrait de Mnémosyne n°15, Mai 1999, IREM Paris 7
Extrait de Kitâb al – Jabr wa – l – Muqâbala
Edition de A.M. Musharrafa et M. M. Ahmad
Le Caire 1968, pp 65 – 66
Mais alors d'où vient notre mot "algèbre"?
Il est intéressant de noter que l'origine du mot "algèbre" découle du mot "Al-Jabr" qui peut se traduire par compensation, restauration, réduction ou encore reconstruction. Le mot arabe Al-Jabr est employé pour parler d'une restauration des os après une fracture: on parle bien d'une réduction de fracture. C'est dans un ouvrage en latin intitulé "Dixit Algorismi" (traduction littérale de "Comme l'a dit Al-Khwârizmî", origine des mots algorisme et algorithme) écrit par Gherardo di Cremona (1114-1187), que le mot Al-Jabr a été traduit par le mot Algebra qui nous a donné le mot Algèbre; notez qu'au XVIème siècle en Espagne, un algébriste (algebrista en espagnol) était un chirurgien peu instruit qui réduisait les fractures osseuses.
Lien entre la méthode de résolution d'Al-Khwârizmî et nos méthodes modernes:
-
Explication d' "Al-Jabr" :
Exemple: "Si 3 choses diminuées de 5 valent 2 choses, je compense avec 5 ; alors 3 choses diminuées de 5 et augmentées de 5 valent 2 choses augmentées de 5 ; 3 choses valent donc 2 choses et 5".
Traduction moderne qui utilise le calcul littéral:
3x - 5 = 2x
3x - 5 + 5 = 2x + 5
3x = 2x + 5
Il s'agit de supprimer les signes "-": on ajoute 5 de chaque côté de l'égalité.
-
Explication d' "Al-Muqâbala" (qui peut se traduire par mise en opposition, confrontation, comparaison):
Exemple: "Si 3 choses valent 2 choses et 5, alors 1 chose vaut 5".
Traduction moderne qui utilise le calcul littéral:
3x = 2x + 5
3x - 2x = 2x + 5 - 2x
x = 5
Il s'agit de regrouper les termes semblables dans un même membre (celui où elles sont en nombre positif, car il n’y a pas de négatif chez Al Khwârizmî): on soustrait 2x de chaque côté de l'égalité.
-
Explication d' "Al-Hatt" :
Exemple: "Si 3 choses valent 6, alors 1 chose vaut 2."
Traduction moderne qui utilise le calcul littéral:
3x = 6
3x : 3 = 6 : 3
x = 2
Il s'agit de diviser les deux membres de l'égalité par un même nombre.
sources:
http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/
http://www.math.ens.fr/culturemath/
Site de l'IREM de Reims
Site de l'IREM de Paris 7
Stage du PAF
J'espère que cet article vous a plu, et qu'il vous a appris des choses. N'hésitez pas à laisser des commentaires.
